Deducción matemática presión y temperatura.

En el marco de la teoría cinética la presión de un gas es explicada como el resultado macroscópico de las fuerzas implicadas por las colisiones de las moléculas del gas con las paredes del contenedor. La presión puede definirse por lo tanto haciendo referencia a las propiedades microscópicas del gas.

Para describir la interacción entre el gas  y las paredes conviene introducir el concepto de presión, que se obtiene dividiendo la fuerza entre el área sobre la cual actúa la fuerza:

       Presión =fuerza/área

En general se cree que hay más presión si las partículas se encuentran en estado sólido, si se encuentran en estado líquido es mínima la distancia entre una y otra y por último si se encuentra en estado gaseoso se encuentran muy distantes.

En efecto, para un gas ideal con (N) moléculas, cada una de masa (m) y moviéndose con una velocidad aleatoria (v),contenido en un volumen cúbico (V) , las partículas del gas impactan con las paredes del recipiente de una manera que puede calcularse de manera estadística intercambiando momento lineal con las paredes en cada choque y efectuando una fuerza neta por unidad de área que es la presión ejercida por el gas sobre la superficie sólida.

La presión puede calcularse como

 (gas ideal)

Esta fórmula relaciona una variable macroscópica observable, la presión, con la energía cinética promedio por molécula,que es una magnitud microscópica no observable directamente.

La ecuación anterior, nos dice que la presión de un gas depende directamente de la energía cinética molecular. La ley de los gases ideales nos permite asegurar que la presión es proporcional a la temperatura absoluta. Estos dos enunciados permiten realizar una de las afirmaciones más importantes de la teoría cinética:

La energía molecular promedio es proporcional a la temperatura. 

La constante de proporcionales es 3/2 la constante de Boltzmann, que a su vez es el cociente entre la constante de los gases R entre el número de Avogadro. Este resultado permite deducir el principio o teorema de equipartición de la energía.

La energía cinética por Kelvin es:

·         Por mol 12,47 J

·         Por molécula 20,7 yJ = 129 μeV

En condiciones estándar de presión y temperatura (273,15 K) se obtiene que la energía cinética total del gas es:

·         Por mol 3406 J

·         Por molécula 5,65 zJ = 35,2 meV

Se puede concluir, por tanto, que comparando dos gases que se encuentren a la misma temperatura, adquirirá mayor velocidad aquel que tenga menor masa molecular, es decir, aquel que sea más ligero. Análogamente, entre dos gases de igual masa molecular se moverá más rápido aquel que tenga mayor temperatura.

Según la ley de Boyle, la frecuencia de las colisiones en la pared es proporcional a la velocidad molecular y, por tanto, inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa molecular  M. En consecuencia, a igualdad de temperaturas, las moléculas más livianas chocan con las paredes del recipiente más frecuentemente que las más pesadas, aunque estas últimas experimentan en la colisión una mayor variación del momento. Estos dos factores se anulan mutuamente y la presión del gas acaba siendo independiente de la naturaleza del gas.

A partir de la expresión de la velocidad, se puede concluir también que el valor mínimo de la temperatura absoluta es T = 0 K, este punto se conoce como cero absoluto de temperaturas, y si experimentalmente pudiera conseguirse, correspondería a una situación en la que las partículas estarían estáticas.